یک دانشمند مشهور انگلیسی اسحاق نیوتن سه معادله حرکت را به دست آورد که اساسی ترین مفاهیم حرکت یک شی را توصیف می کند. این معادلات حاکم بر حرکت یک شی در یک ، دو و سه بعد هستند. این معادلات به راحتی برای محاسبه مقادیر یا عبارات برای موقعیت ، سرعت یا شتاب یک شی در زمان های مختلف استفاده می شوند. بیایید ابتدا مفهوم اصلی حرکت و اصطلاحات مختلف مربوط به آن را درک کنیم.
حرکت چیست؟
حرکت را می توان به عنوان تغییر در موقعیت شی با توجه به زمان توصیف کرد. موقعیت را می توان با استفاده از یک نقطه مرجع و محاسبه فاصله شی از نقطه مرجع اندازه گیری کرد. زمان را می توان با استفاده از یک ساعت سرعت محاسبه کرد که زمان لازم برای تغییر موقعیت را تعیین می کند. بسیاری از دانشمندان عالی وجود دارند که معادله یا نظریه ای را برای مطالعه حرکت مانند گالیله گالیله و اسحاق نیوتن کار کرده و به دست آورده اند.
حرکت یک ماشین در یک بازه زمانی
قبل از بحث در مورد معادله حرکت ، اجازه دهید ابتدا اصطلاحات اساسی مربوط به حرکت یک شی را تجدید نظر کنیم. حرکت یک شی را می توان با استفاده از چهار اصطلاح مختلف توصیف کرد که به شرح زیر است:
فاصله
اندازه گیری واقعی تغییر کل در موقعیت یک شی (در یک دوره زمانی خاص) فاصله نامیده می شود.
فاصله (د) یک مقدار مقیاس است و از این رو ، فقط به بزرگی می دهد.
به عنوان مثال،شکل زیر را در نظر بگیرید ، یک اتومبیل از موقعیت A به موقعیت B منتقل می شود. سرعت سنج در ماشین مسافت طی شده از نقطه A به نقطه B را نشان می دهد.
مسافتی که توسط ماشین طی شده است
جابه جایی
کوتاهترین اندازه گیری تغییر خالص در موقعیت یک شی (در یک بازه زمانی خاص) جابجایی نامیده می شود.
جابجایی یک مقدار بردار است و از این رو ، هم به بزرگی و هم جهت می دهد.
به عنوان مثال،شکل زیر را در نظر بگیرید ، یک اتومبیل از موقعیت A به موقعیت B منتقل می شود. جابجایی برابر با فاصله پوشیده شده در جهت مشخص حرکت است.
جابجایی ماشین
سرعت
سرعت یک شیء اندازه گیری برای تعیین سرعت یا کند شدن جسم یا تغییر موقعیت آن است.
سرعت برابر با تغییر نرخ زمان در فاصله تحت پوشش شی است.
به عنوان مثال،فرض کنید یک فن که خیلی سریع در حال اجرا است ، اما با توجه به حالت ثابت شما سریع است ، اگر با همان سرعت فن نیز می چرخید که می بینید حتی در حال حرکت نیست.
از نظر ریاضی ، سرعت یک شیء به این صورت داده می شود:
از آنجا که ، هر دو زمان و مسافت مقادیر مقیاس پذیر هستند ، بنابراین ، سرعت نیز یک مقدار مقیاس است.
واحد SI سرعت M/s است.
سرعت
میزان تغییر جابجایی یک شی با توجه به زمان یا میزان تغییر موقعیت ، سرعت نامیده می شود.
از نظر گرافیکی ، این شیب عملکرد جابجایی است. این یک مقدار بردار است و بنابراین به اندازه و جهت می دهد.
واحد سرعت SI همان سرعت M/s است. تفاوت بین سرعت و سرعت یک شی در این است که سرعت یک مقدار مقیاس است در حالی که سرعت یک مقدار بردار است.
شتاب
تغییر سرعت یک شیء در واحد زمان یا میزان تغییر عملکرد سرعت با توجه به زمان ، به عنوان شتاب تعریف می شود.
از نظر گرافیکی ، این شیب عملکرد سرعت است. شتاب یک مقدار بردار است و در نتیجه هم به اندازه و هم جهت می دهد.
معادلات حرکت چیست؟
معادله هایی که ماهیت و رفتار یک سیستم فیزیکی را از نظر حرکت آن به عنوان تابعی از زمان توضیح می دهند ، معادلات حرکت نامیده می شوند. سه معادله حرکت وجود دارد که می تواند برای محاسبه اجزای حرکت مانند فاصله ، جابجایی ، سرعت (اولیه و نهایی) ، زمان (T) و شتاب (الف) یک شی استفاده شود. موارد زیر سه معادله حرکت است:
- معادله اول حرکت: v = u + در
- معادله دوم حرکت: S = UT + 1/2 (در 2)
- معادله سوم حرکت: V 2 = U 2 - 2A
مشتق معادلات حرکت
براساس هدف استفاده از مؤلفه های مختلف در راه حل های مختلف ، سه روش مختلف برای استخراج این معادلات وجود دارد:
- مشتق معادلات حرکتی به صورت جبری ، با استفاده از تعریف و فرمول های مختلف اجزای حرکت.
- مشتق معادلات حرکت به صورت گرافیکی ، با استفاده از نمایش گرافیکی برای فاصله ، سرعت و شتاب یک شی.
- مشتق معادلات حرکت با استفاده از روش انتگرال.
در اینجا ، در مقاله حاضر ، مشتق سه معادله حرکت به صورت گرافیکی مورد بحث قرار می گیرد:
مشتق معادله اول حرکت به صورت گرافیکی:
معادله اول سرعت را با شتاب و زمان شیء مرتبط می کند. بنابراین ، این معادله در صورت عدم جابجایی قابل اجرا است و به عنوان رابطه با سرعت نیز شناخته می شود.
نمودار سرعت-زمان را همانطور که در زیر نشان داده شده در نظر بگیرید، سرعت جسم در زمان t با سرعت یکنواخت از A به C تغییر می کند. فاصله A تا محور x سرعت نهایی و OC کل زمان t است.
یک عمود از B به OC، یک خط موازی از A به D، و یک عمود دیگر از B به OE رسم می شود (که با خطوط نقطه چین نشان داده می شود).
نمودار نشان می دهد که جسم دارای سرعت متغیری است که از u تا v در حال افزایش است زیرا شیب مثبت است و سرعت در جهت مثبت در حال افزایش است.
نمودار سرعت-زمان
حالا با استفاده از این نمودار حرکتی شتاب را محاسبه می کنیم. شتاب مماس زاویه در نمودار v-t است.
استخراج معادله دوم حرکت به صورت گرافیکی:
نمودار زیر v-t رابطه سرعت و زمان یک جسم با سرعت اولیه u m/s و سرعت نهایی v m/s را نشان می دهد. همانطور که می دانیم مساحت نمودار v-t جابجایی جسم را نشان می دهد، بنابراین مساحت نمودار را محاسبه کرده و معادله جابجایی را پیدا می کنیم. همان نموداری که در مشتق قبلی استفاده کرده بودیم اما در اینجا رویکرد متفاوت خواهد بود، قبلاً از شیب برای محاسبه شتاب استفاده می کردیم، اما اکنون از مساحت استفاده می کنیم.
نمودار حرکتی v-t
جابجایی جسم (d) = مساحت مثلث ABC + مساحت مستطیل BCOT
در اینجا مساحت مثلث ABC = 1/2 × پایه × ارتفاع
و مساحت مستطیل BCOT = طول × عرض
بنابراین، جابجایی جسم، d = 1/2 × t × (v-u) + u × t ……(1)
همچنین از معادله اول حرکت v – u = at
در معادله (1)، v-u را جایگزین at کنید.
d = 1/2 × t × (at) + u × t
استخراج معادله سوم حرکت به صورت گرافیکی:
ما روش های مختلفی برای محاسبه مساحت ها داریم، مانند تقسیم هر فرم به قطعات کوچک و سپس جمع کردن مساحت تبدیل مسئله به شکلی که برای ما کاملاً شناخته شده است. در این اشتقاق، مساحت یک شکل مستطیل تبدیل شده و جابجایی با استفاده از مساحت مستطیل محاسبه می شود. این معادله زمانی استفاده می شود که زمان داده نشده باشد.
نمودار اصلی به نمودار برجسته
در اینجا P نقطه مرکزی است، بنابراین سرعت جسم (v + u) / 2 است.
بنابراین، جابجایی جسم (d) = مساحت مثلث ABC + مساحت مستطیل ACTO = مساحت مستطیل OPQT
جابجایی جسم، d = طول × عرض
همچنین از اولین معادله حرکت، v – u = at یا t = (v – u) / a
بنابراین، معادله (2) تبدیل می شود:
d = (v – u) / a × (v + u) / 2
نمونه مشکلات
مسئله 1: نمودار سرعت-زمان برای یک ذره در زیر آورده شده است، مسافت طی شده توسط ذره را در 40 دقیقه پیدا کنید.
راه حل:
محاسبه فاصله با استفاده از مساحت زیر نمودار سرعت-زمان.
مساحت زیر منحنی داده شده
فاصله تحت پوشش ذره در 40 دقیقه = مساحت زیر منحنی داده شده.
شکل تشکیل شده در زیر منحنی مستطیل است بنابراین، سطح زیر منحنی = طول × عرض.
در اینجا، طول شکل معادل زمان صرف شده است، یعنی 40 دقیقه یا 40 دقیقه × 60 ثانیه / 1 دقیقه = 2400 ثانیه.
به طور مشابه، عرض شکل معادل سرعت است یعنی 15 کیلومتر در ساعت یا 15 کیلومتر در ساعت × 1 ساعت / 3600 ثانیه × 1000 متر / 1 کیلومتر = 4. 17 متر بر ثانیه.
بنابراین، مساحت زیر منحنی یا مسافت طی شده در 40 دقیقه به صورت زیر بدست می آید:
⇒ 2400 ثانیه × 4. 17 متر بر ثانیه = 10000 متر یا 10 کیلومتر.
بنابراین مسافت طی شده توسط ذره در 40 دقیقه برابر با 10 کیلومتر است.
مسئله 2: برای نمودار زیر، نمودار مسافت طی شده توسط ذره بین زمان 20 دقیقه تا 40 دقیقه را محاسبه می کند.
راه حل:
فاصله تحت پوشش ذره از زمان t = 20 دقیقه تا 40 دقیقه برابر است با مساحت زیر منحنی داده شده بین بازه زمانی داده شده.
منطقه مشخص شده طرح سرعت-زمان
شکل تشکیل شده در زیر منحنی مستطیل است بنابراین، سطح زیر منحنی = طول × عرض.
در اینجا، طول شکل معادل زمان صرف شده است، یعنی (40 تا 20) دقیقه یا 20 دقیقه × 60 ثانیه / 1 دقیقه = 1200 ثانیه.
به طور مشابه، عرض شکل معادل سرعت است یعنی 15 کیلومتر در ساعت یا 15 کیلومتر در ساعت × 1 ساعت / 3600 ثانیه × 1000 متر / 1 کیلومتر = 4. 17 متر بر ثانیه.
بنابراین، مساحت زیر منحنی یا مسافت طی شده از زمان t = 20 دقیقه تا 40 دقیقه به صورت زیر به دست می آید:
⇒ 1200 ثانیه × 4. 17 متر بر ثانیه = 5004 متر یا 5. 004 کیلومتر.
بنابراین، مسافت طی شده توسط ذره از زمان t = 20 دقیقه تا 40 دقیقه برابر با 5. 004 کیلومتر است.
مسئله 3: مسافت طی شده توسط یک ذره را در بازه زمانی t = 0 s و t = 4 s بیابید که نمودار سرعت-زمان در زیر آورده شده است:
نمودار سرعت-زمان
راه حل:
فاصله تحت پوشش ذره در t = 0 s و t = 4 s برابر است با مساحت زیر منحنی.
شکل تشکیل شده در زیر منحنی مثلثی است بنابراین، سطح زیر منحنی = 1/2 × پایه × ارتفاع.
در اینجا، پایه شکل معادل زمان صرف شده است، یعنی 4 ثانیه.
به طور مشابه، ارتفاع شکل معادل سرعت یعنی 20 متر بر ثانیه است.
بنابراین، مساحت زیر منحنی یا مسافت تحت پوشش در t = 0 s و t = 4 s به صورت زیر به دست می آید:
⇒ 1/2 × 4 ثانیه × 20 متر بر ثانیه = 40 متر.
بنابراین، فاصله ای که ذره طی می کند در t = 0 s و t = 4 s برابر 40 متر است.
مشکل 4: شکل زیر نمودار فاصله از سه شیء A ، B و C را نشان می دهد: تعیین:
(الف) کدام شی با سرعت بیشتر در حال حرکت است؟
(ب) کدام شی با سرعت کمتری حرکت می کند؟
راه حل:
نمودار داده شده نمودار زمان فاصله است و شیب مقدار سرعت را به ما می دهد یعنی بیشتر شیب سرعت بیشتر است.
همانطور که از نمودار داده شده مشاهده می شود ، A حداکثر شیب دارد ، بنابراین با سرعت بیشتر در حال حرکت است و C کمترین شیب دارد ، بنابراین با کمترین سرعت در حال حرکت است.
مشکل 5: سرعت ذرات را با کمک نمودار حرکت فاصله زمانی داده شده محاسبه کنید.
راه حل:
در اینجا ، سرعت ذرات برابر با شیب نمودار است.
و شیب نمودار فاصله برابر با سرعت ذرات است.
بنابراین ، فرمول محاسبه سرعت ذرات:
سرعت = فاصله / زمان
= 20 متر / 5 ثانیه
= 4 متر بر ثانیه.
از این رو ، سرعت ذرات برابر با 4 متر بر ثانیه است.< Pan> مشکل 4: شکل زیر نمودار فاصله از سه شیء A ، B و C را نشان می دهد.
